Daftar Isi:
A. Peluang Suatu Kejadian
Jika A adalah satu kejadian dan $A^c$ ialah suplemen pecah kejadian A, maka bertindak:
$P(A)+P(A^c)=1$
$P(A)=1-P(A^c)$
$P(A^c)=1-P(A)$
Bukti:
Perhatikan tabulasi venn berikut!
Situasi A didefinisikan di n domestik ruang sampel S. Sehingga kejadian di luar A disebut komplemen dari kejadian A dan dinotasikan dengan $A^c$.
$A \cup A^c =S$, maka:
$\begin{align}n(A)+n(A^c) &= n(S) \\ \frac{lengkung langit(A)}{n(S)}+\frac{n(A^c)}{n(S)} &=\frac{n(S)}{kaki langit(S)} \\ P(A)+P(A^c) &=1 \\ P(A) &=1-P(A^c) \end{align}$
Terbukti.
Contoh 1.
Pada percobaan melempar dua buah dadu bersisi enam sebanyak satu kali. Tentukan peluang munculnya netra dadu berjumlah minimal rendah 4.
Penyelesaian:
S = melempar dua biji pelir dadu bersisi heksa-.
cakrawala(S) = 6 x 6 = 36
A = unjuk indra penglihatan dadu berjumlah paling abnormal 4.
$A^c$ = muncul mata dadu berjumlah minus terbit 4.
$A^c =\{(1,1),(1,2),(2,1)\}$
$n(A^c)=3$
$P(A^c) =\frac{n(A^c)}{n(S)}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$
$\begin{align}P(A) &=1-P(A^c) \\ &=1-\frac{1}{12} \\ P(A) &=\frac{11}{12} \end{align}$
Jadi, peluang unjuk alat penglihatan dadu berjumlah paling sedikit 4 adalah $\frac{11}{12}$.
Contoh 2.
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola tahir, dan 3 bola yunior. Jika diambil 2 bola secara acak sekaligus, tentukan peluang terambil kedua bola enggak berwarna hijau.
Penuntasan:
S = Mencekit 2 bola sekaligus terbit 12 bola.
$\begin{align}falak(S) &= _{12}C_2 \\ &=\frac{12!}{2!.(12-2)!} \\ &=\frac{12!}{2!.10!} \\ &=\frac{12.11.\cancel{10!}}{2.1.\cancel{10!}} \\ n(S) &=66 \end{align}$
A = Kejadian terambil kedua bola enggak hijau.
Kemungkinan-kemungkinan terambil kedua bola bukan hijau adalah:
- Terambil bola bercat hijau dan bola berwarna merah.
- Terambil bola bercat hijau dan bola bercelup putih.
- Terambil bola berwarna merah dan bola berwarna putih.
- Terambil kedua bola berwarna merah.
- Terambil kedua bola berwarna putih.
Jika ini kita hitung seluruhnya, maka kontol proses janjang. Pasti ini lain efektif, maka kita gunakan peluang apendiks.
$A^c$ = terambil kedua bola hijau.
$\begin{align}ufuk(A^c) &= _3C_2 \\ &=\frac{3!}{2!.1!} \\ &=\frac{3.\cancel{2!}}{\cancel{2!}.1} \\ lengkung langit(A) &=3 \end{align}$
$P(A^c)=\frac{n(A^c)}{n(S)}=\frac{3}{66}=\frac{1}{22}$
$\begin{align}P(A) &=1-P(A^c) \\ &=1-\frac{1}{22} \\ P(A) &=\frac{21}{22} \end{align}$
Jadi, peluang terambil kedua bola bukan hijau adalah $\frac{21}{22}$.
B. Probabilitas Dua Keadaan Ubah Amnesti
Definisi:
Dua kejadian saling lepas adalah dua hal yang tidak bisa terjadi secara bersamaan.
Perhatikan diagram venn berikut!
A dan B dua hal saling lepas.
$A\logo B=\varnothing $ maupun $kaki langit(A\cap B)=0$
Sekiranya A dan B adalah dua peristiwa silih magfirah maka:
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
Komplet 1.
Sebuah kantong berisi 9 keneker biru, 6 kelereng kuning, dan 4 guli merah. Sebuah kelereng diambil berpangkal dompet tersebut. Tentukan probabilitas terambilnya keneker biru atau kuning.
Penyelesaian:
S = Mencekit 1 keneker dari 19 kelereng.
kaki langit(S) = 19
A = Kejadian terambil satu keneker biru
n(A) = 9
$P(A)=\frac{n(A)}{falak(S)}=\frac{9}{19}$
B = Kejadian terambil satu kelereng kuning.
lengkung langit(B) = 6
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{6}{19}$
A dan B yaitu dua kejadian saling ampunan, maka:
$\begin{align}P(A\cup B) &=P(A)+P(B) \\ &=\frac{9}{19}+\frac{6}{19} \\ P(A\cup B) &=\frac{15}{19} \end{align}$
Makara, peluang terambil kelereng spektakuler atau kuning adalah $\frac{15}{19}$.
Contoh 2.
Pada pelemparan dua buah dadu sekaligus sebanyak satu barangkali. Tentukan prospek munculnya mata dadu berjumlah 5 alias 7.
Penyelesaian:
S = pelemparan dua buah dadu
lengkung langit(S) = 6 x 6 = 36
A = Kejadian munculnya dadu berjumlah 5.
A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}
lengkung langit(A) = 4
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{36}$
B = Peristiwa munculnya ain dadu berjumlah 7.
B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
tepi langit(B) = 6
$P(B)=\frac{cakrawala(B)}{n(S)}=\frac{6}{36}$
A dan B dua kejadian saling maaf maka:
$\begin{align}P(A\cup B) &=P(A)+P(B) \\ &=\frac{4}{36}+\frac{6}{36} \\ &=\frac{10}{36} \\ P(A\cup B) &=\frac{5}{18} \end{align}$
Bintang sartan, probabilitas munculnya ain dadu berjumlah 5 atau 7 adalah $\frac{15}{18}$.
C. Kebolehjadian Dua Hal Tidak Saling Lepas
Dua keadaan enggak saling lepas, jika terletak atom nan selevel antara kejadian yang satu dengan kejadian yang lainnya.
Perhatikan grafik venn berikut!
A dan B dua situasi lain saling bebas.
$A\label B\ne \varnothing $ atau $falak(A\cap B)\ne 0$
Jika A dan B adalah dua kejadian tukar magfirah maka:
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
Hipotetis 1.
Pada pelemparan sebuah dadu, tentukan peluang munculnya alat penglihatan dadu genap alias prima.
Penyelesaian:
S = Pelemparan sebuah dadu.
n(S) = 6
A = Kejadian munculnya netra dadu genap
A = {2, 4, 6} maka n(A) = 3
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}$
B = Kejadian munculnya mata dadu garis hidup prima
B = {2, 3, 5} maka horizon(B) = 3
$P(B)=\frac{n(B)}{ufuk(S)}=\frac{3}{6}$
Perhatikan hal A dan B, pada kejadian A dan kejadian B terdapat unsur yang seimbang yaitu 2, ditulis:
$A\nama B=\{2\}$ maka $n(A\cap B)=1$
$P(A\nama B)=\frac{t(A\cap B)}{n(S)}=\frac{1}{6}$
A dan B dua kejadian tidak saling pembebasan, maka:
$\begin{align}P(A\cup B) &=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\ &=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}-\frac{1}{6} \\ P(A\cup B) &=\frac{5}{6} \end{align}$
Bintang sartan, peluang munculnya mata dadu genap maupun prima adalah $\frac{5}{6}$.
Contoh 2.
Berusul 20 kartu yang diberi nomor 5, 6, 7, 8, …, 25 lakukan setiap kartu, diambil sebuah kartu secara acak. Tentukan peluang terambilnya kartu dengan nomor kelipatan 3 atau 5.
Penyelesaian:
S = Menjeput 1 kartu berusul 20 kartu
n(S) = 20
A = Situasi terambilnya 1 kartu dengan nomor kelipatan 3.
A = {6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}
falak(A) = 7
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{7}{20}$
B = Kejadian terambilnya 1 kartu dengan nomor kelipatan 5.
B = {5, 10, 15, 20, 25}
$P(B)=\frac{kaki langit(B)}{n(S)}=\frac{5}{20}$
Perhatikan kejadian A dan B, terdapat elemen yang sama yaitu 15.
$A\segel B=\{15\}$ maka $n(A\etiket B)=1$
$P(A\logo B)=\frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{1}{20}$
A dan B dua situasi tidak tukar ampunan, maka:
$\begin{align}P(A\cup B) &=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\ &=\frac{7}{20}+\frac{5}{20}-\frac{1}{20} \\ P(A\cup B) &=\frac{11}{20} \end{align}$
Jadi, peluang unjuk netra dadu genap atau prima adalah $\frac{11}{20}$.
D. Peluang Dua Kejadian Saling Bebas
Dua keadaan disebut saling independen sekiranya peluang munculnya kejadian mula-mula tidak memengaruhi probabilitas munculnya kejadian kedua.
Jika A dan B dua keadaan saling nonblok, maka peluang terjadinya A dan B adalah:
$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$
Contoh 1.
Peluang seorang dokter dapat mendiagnosa sejenis penyakit tertentu adalah 0,7. Kalau dokter tersebut salah diagnosa, peluang pasien meninggal 0,8. Berapakah peluang dokter tersebut pelecok diagnosa dan pasien meninggal?
Perampungan:
P(A) = peluang dokter bisa mendiagnosa
P(A)= 0,7
$\text{P(}{{\text{A}}^{\text{c}}}\text{)}$ = peluang dokter riuk diagnosa.
$\begin{align}P(A^c)=1-P(A) \\ &=1-0,7 \\ P(A^c) &=0,3 \end{align}$
P(B) = kebolehjadian pasing meninggal
P(B) = 0,3
Probabilitas dokter salah diagnosa dan pasien meninggal yaitu:
$\begin{align}P(A^c \logo B) &=P(A^c)\times P(B) \\ &=(0,3)\times (0,8) \\ P(A^c \jenama B) &=0,24 \end{align}$
Arketipe 2.
N domestik boks I terdapat 3 bola merah dan 4 bola putih, dalam peti II terwalak 2 bola merah dan 6 bola hitam. Terbit setiap kotak diambil 2 bola secara acak. Tentukan kebolehjadian terambilnya 2 bola putih dari kotak I dan 2 bola hitam dari kotak kedua.
Penyelesaian:
Kotak I
S = mengambil 2 bola dari 7 bola
$\begin{align}ufuk(S) &= _7C_2 \\ &=\frac{7!}{2!(7-2)!} \\ &=\frac{7!}{2!.5!} \\ &=\frac{7.\overset{3}{\mathop{\cancel{6}}}\,.\cancel{5!}}{\cancel{2}.1.\cancel{5!}} \\ n(S) &= 21 \end{align}$
A = terambil 2 bola putih bermula peti I
$\begin{align}n(A)&= _4C_2 \\ &=\frac{4!}{2!.(4-2)!} \\ &=\frac{4!}{2!.2!} \\ &=\frac{\overset{2}{\mathop{\cancel{4}}}\,.3.\cancel{2!}}{\cancel{2}.1.\cancel{2!}} \\ tepi langit(A) &=6 \end{align}$
$P(A)=\frac{cakrawala(A)}{ufuk(S)}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$
Kotak II
S = Cekut 2 bola dari 8 bola.
$\begin{align} n(S) &= _8C_2 \\ &=\frac{8!}{2!.(8-2)!} \\ &=\frac{8!}{2!.6!} \\ &=\frac{\overset{4}{\mathop{\cancel{8}}}\,.7.\cancel{6!}}{\cancel{2}.1.\cancel{6!}} \\ kaki langit(S) &=28 \end{align}$
B = terambil 2 bola hitam bermula kotak II
$\begin{align}cakrawala(B) &= _6C_2 \\ &=\frac{6!}{2!.(6-2)!} \\ &=\frac{6!}{2!.4!} \\ &=\frac{\overset{3}{\mathop{\cancel{6}}}\,.5.\cancel{4!}}{\cancel{2}.1.\cancel{4!}} \\ n(B) &=15 \end{align}$
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{15}{28}$
Peluang terambil 2 bola nirmala dari kotak I dan 2 bola hitam berpangkal boks kedua adalah:
$\begin{align}P(A^c \nama B) &=P(A^c)\times P(B) \\ &=\frac{2}{7}\times \frac{15}{28} \\ &=\frac{30}{196} \\ P(A^c \tanda B) &=\frac{15}{98} \end{align}$
E. Peluang Dua Kejadian Tidak Saling Bebas (Kejadian Bersyarat)
Dua kejadian disebut situasi tidak saling bebas maupun bersyarat sekiranya peluang munculnya kejadian purwa memengaruhi peluang munculnya hal kedua.
Kalau peluang peristiwa B dipengaruhi maka itu kejadian A ditulis: $P(B|A)$.
Jika probabilitas situasi A dipengaruhi makanya kejadian B ditulis: $P(A|B)$.
Jika A dan B dua kejadian tidak silih bebas, maka peluang terjadinya A dan B merupakan:
$P(A\cap B)=P(A)\times P(B|A)$
Contoh 1.
N domestik suatu boks berisi 10 bola merah dan 10 bola hijau. Jika diambil 2 bola satu masing-masing satu tanpa pengembalian, tentukan prospek terambil kedua bola berwarna hijau.
Perampungan:
A = keadaan terambil 1 bola bau kencur pada pengambilan pertama.
$P(A)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$
Satu bola hijau pada pemungutan mula-mula tidak dikembalikan, maka:
Banyak bola sebelum pengambilan kedua yaitu = 15 – 1 = 14.
Banyak bola hijau sebelum pengambilan kedua adalah = 5 – 1 = 4.
Seandainya B yakni kejadian terambilnya 1 bola hijau pada pengambilan kedua, maka:
$P(B|A)=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$
Peluang terambil kedua bola bercat hijau berturut-masuk adalah:
$\begin{align}P(A\cap B) &=P(A)\times P(B|A) \\ &=\frac{1}{3}\times \frac{2}{7} \\ P(A\jenama B) &=\frac{2}{21} \end{align}$
Contoh 2.
Jikalau A dan B dua peristiwa dengan $P(A)=\frac{8}{15}$, $P(B)=\frac{7}{12}$, $P(A|B)=\frac{4}{7}$, maka $P(B|A)$ = …
Penyelesaian:
$P(A\tera B)=P(A)\times P(B|A)$
$P(A\cap B)=P(B)\times P(A|B)$
$\begin{align}P(A)\times P(B|A) &=P(B)\times P(A|B) \\ \frac{8}{15}\times P(B|A) &=\frac{7}{12}\times \frac{4}{7} \\ \frac{8}{15}\times P(B|A) &=\frac{1}{3} \\ P(B|A) &=\frac{1}{3}\times \frac{15}{8} \\ P(B|A) &=\frac{5}{8} \end{align}$
Soal Latihan
- Dua buah dadu dilempar serentak. Peluang ain dadu yang unjuk berjumlah 12 ialah $\frac{1}{36}$. Berapakah kebolehjadian muculnya mata dadu yang enggak berjumlah 12?
- Sekerat alat penglihatan komisi logam dan sebuah dadu dilempar sekali secara bersamaan. Tentukan probabilitas muculnya sisi gambar dan angka 3.
- Pada pelemparan dua buah dadu langsung satu kali, tentukan prospek muncul besaran mata dadu lebih dari 8 atau berjumlah 7.
- Puas percobaan menjumut satu kartu secara acak berpunca seperangkat kartu bridge dan pelemparan sebuah dadu satu mana tahu, tentukan peluang diperolehnya kartu queen dan indra penglihatan dadu ganjil!
- Internal kotak terdapat 5 bola spektakuler dan 3 bola hitam. Takdirnya diambil 2 bola suatu saban suatu minus dikembalikan, tentukan kemungkinan bola yang terambil itu berendeng-rendeng bola biru dan hitam.
Hendaknya postingan:
Peluang 3. Peluang Kejadian Bermacam-macam
ini boleh bermanfaat. Minta kehadiran hatinya, membagikan postingan ini di media sosial
kiai/ibu guru
dan adik-adik sekalian. Sambut kasih.
Dapatkan Update terbaru, subscribe channel kami:
