Rumus Jumlah N Suku Pertama Deret Geometri

Edutafsi.com – Lajur Geometri. Sreg beberapa bahan belajar sebelumnya, edutafsi telah mengomongkan sejumlah konsep mengenai tentara geometri mulai semenjak definisi pasukan geometri, proporsi barisan, rumus suku ke-n, sebatas kawin antara tiga kaki berdekatan internal barisan geometri. Selain konsep tersebut, masih suka-suka bilang subtopik tidak yang berdampingan dengan laskar, yaitu leret. Sama sebagai halnya angkatan aritmatika yang bisa dijumlahkan menjadi deret aritmatika, barisan geometri lagi dapat dijumlahkan menjadi deret ilmu ukur. Takdirnya berfirman mengenai deret, maka subtopik yang penting akan dibahas ialah bagaimana cara menentukan jumlah n suku pertama semenjak deret tersebut. Tapi sebelum membicarakan lebih lanjut rumus menentukan jumlah n suku mula-mula, ada baiknya kita membahas lebih lagi tinggal mengenai definisi dari deret ilmu ukur. Pada pembahasan di bawah ini, edutafsi pun akan memaparkan tulangtulangan enggak berbunga rumus jumlah lengkung langit suku pertama pada deret ilmu ukur.

A. Pengertian Deret Ilmu ukur

Secara keteter, deret boleh diartikan sebagai besaran dari seluruh tungkai dalam satu barisan (jumlah kaki pertama, kedua, ketiga, hingga suku keladak). Dengan demikian, deret geometri dapat diartikan seumpama jumlah semenjak seluruh suku dalam barisan ilmu ukur. Takdirnya jajar aritmatika dikenal pun misal banjar hitung, maka jenama enggak dari larik geometri adalah deret ukur.

Pada dasarnya barisan dan deret geometri ialah dua topik yang ganti berbimbing. Konsep barisan dan deret geometri juga saling berkaitan. Kalkulasi dan penentuan rumus deret ilmu ukur dikembangkan berdasarkan konsep nan ada pada barisan geometri. Sebaliknya, beberapa perhitungan pada barisan geometri pun dapat diturunkan dari konsep leret geometri.

Misalkan terdapat legiun geometri terdiri berusul lima tungkai sebagai berikut : 2, 8, 32, 128, 512. Jumlah bersumber legiun tersebut 2 + 8 + 32 + 128 + 512  disebut sebagai jejer geometri. Karena merupakan jumlah dari barisan geometri, maka konsep atau ciri-ciri yang main-main pada barisan geometri juga berlaku lega deret geometri.

Ciri-ciri nan dimaksud antara lain :
1). Perbandingan dua suku berdekatan (r) kerap sebabat
2). Suku ke-falak merupakan hasil mana tahu antara kaki sebelumnya dengan rasio barisan.

Dengan demikian, sebelum menyelsaikan soal kita juga bisa memastikan tambahan pula lewat apakah suatu derek termasuk jajar geometri atau bukan. Caranya sederhana, sama seperti mengidentifikasi apakah suatu barisan tertera barisan geoemtri atau tidak, merupakan dengan pendirian melihat rasionya. Jika rasionya sejajar buat setiap dua suku berdekatan, maka derek tersebut yakni deret ilmu ukur. Jika skala berbeda, maka deret tersebut bukan larik geometri.

Contoh :

Dari beberapa deret di bawah ini, periksalah mana yang merupakan baris geometri :
a). 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 18
b). 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128
c). 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192
d). 4 + 16 + 48 + 96 + 288 + 1152

Pembahasan :

a). Rasio kerjakan 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18
⇒ 4/2 ≠ 6/4 ≠ 8/6 ≠ 10/8 ≠ 12/10 ≠ 14/12 ≠ 18/14
Karena rasionya tidak sejajar, maka deret tersebut enggak deret ilmu ukur.

b). Rasio untuk 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
⇒ r = 4/2 = 8/4 = 16/8 = 32/16 = 64/32 = 128/64 = 2
Karena rasionya cerbak sekufu, yaitu r = 2, maka baris tersebut ialah deret ilmu ukur.

c). Rasio bikin 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192
⇒ r = 6/3 = 12/6 = 24/12 = 48/24 = 96/48 = 192/96 = 2
Karena rasionya selalu selevel, yakni r = 2, maka deret ini termasuk deret geometri.

d). Rasio untuk 4, 16, 48, 96, 288, 1152
⇒ 16/4 ≠ 48/16 ≠ 98/48 ≠ 288/96 ≠ 1152/288
Karena rasionya lain selalu sebabat, maka bukan deret ilmu ukur.

Jadi dari keempat deret di atas, yang termasu deret geometri adalah (b) dan (c). Baris 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 n kepunyaan rasio 2 dan jajar 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 juga merupakan larik geometri dengan neraca seperti mana 2.

B. Rumus Jumlah n Suku Purwa Baris Geometri

Salah suatu pembahasan dalam deret geometri adalah menentukan total n suku mula-mula dalam suatu deret ilmu ukur. Qada dan qadar n menyatakan jumlah atau banyak kaki yang akan dijumlahkan. Misalnya sebuah deret geometri terdiri pecah 10 suku, jika ditanya jumlah 5 kaki purwa, maka yang dijumlahkan adalah U₁
+ U₂
+ U₃
+ U₄
+ U₅.

Jumlah lengkung langit kaki purwa biasanya disimbolkan dengan Sn. Besar total n suku permulaan suatu leret geometri mengelepai sreg ponten kaki pertama dan rasio deret tersebut. Rumus kuantitas ufuk suku pertama deret geometri bisa diturunakn berdasarkan konsep kaki ke-n barisan geometri dan manipulasi aljabar seumpama berikut.

Misal suatu pasukan ilmu ukur terdiri berbunga beberapa tungkai sebagai berikut : U₁, U₂, U₃
…, U_n. Sesuai konsep barian geometri, maka berlaku persamaan berikut :
1). U₁
= a

2). U₂
= a . r
3). U₃
= a. r²

4). U_ufuk
= a . r^n-1

Kalau suku-suku barisan tersebut dijumlahkan : U₁

+

U₂
+ U₃
+ … + U_n
maka akan diperoleh Sn.
⇒ Sn =  U₁ + U₂
+ U₃
+ … + U_falak-1
+ U_n

⇒ Sn = a + ar + a. r²
+ …+ a . r^n-2
+ a . r^falak-1   …… (1)

Jika kedua ruas dikali dengan r, maka persamaannya menjadi :

⇒ r Sn = ar + a r²
+ a r³
+ … + a . r^cakrawala-1
+ a . r^cakrawala
…… (2)

Selanjutnya, persamaan (1) dan (2) disusun dan dikurangkan misal berikut :

Hasil di atas dapat diubah menjadi :

⇒ Sn − r Sn = a − a.r^cakrawala

⇒ (1 − r)Sn = a(1 − rⁿ)
⇒ Sn = a(1 − rⁿ) / (1 − r)

Berpokok hasil di atas, diperoleh rumus jumlah lengkung langit suku pertama (Sn) buat lajur geometri. Saja, tulangtulangan di atas hanya berlau untuk nilai r nan lebih boncel dari 1 (r < 1) sedangkan untuk deret geometri dengan rasio lebih besar dari 1 (r > 1) rumusnya terbatas berbeda.

Rumus kuantitas cakrawala tungkai pertama derek geometri untuk r < 1 :

Rumus jumlah n suku pertama jajar geometri buat r > 1 :

Keterangan :
Sn = jumlah kaki langit suku pertama dalam banjar geometri
a = U₁
= kaki purwa jejer geometri
r = rasio deret geometri
ufuk = banyak tungkai yang dijumlahkan (1, 2, 3, ….).

Abstrak :

Diberikan sebuah deret geometri misal berikut : 3 + 6 + 12 + 24 + … + Un. Tentukanlah besaran 8 kaki pertama deret tersebut!

Pembahasan :

Dik : a = 3, r = 6/3 = 12/6 = 2 (r > 1), n = 8
Dit : S₈
= …. ?

Karena r > 1, maka digunakan rumus kedua :
⇒ Sn = a(rⁿ
− 1) / (r − 1)
⇒ S₈
= 3(2⁸
− 1) / (2 − 1)
⇒ S₈
= 3(256 − 1) /1

⇒ S₈
= 3(255)
⇒ S₈
= 765

Jadi, jumlah 8 tungkai pertama saf geometri tersebut adalah 765.

C. Rangka Lain Rumus Sn lakukan Deret Geometri

Rumus besaran n suku pertama larik geometri bagi r > 1 boleh diubah menjadi kerangka yang sederhana dengan dijabarkan terlebih suntuk andai berikut:
⇒ Sn = a(rⁿ
− 1) / (r − 1)
⇒ Sn = (arⁿ
− a) / (r − 1)
⇒ Sn = (arⁿ)/(r − 1) − a/(r − 1)

⇒ Sn = {a/(r − 1)} . rⁿ
− a/(r − 1)

Karena a dan r sreg suatu jejer gemetri demap konsisten, maka a/(r-1) dapat kita asumsikan sebagai satu konstanta, sehingga dapat kita misalkan : a/(r – 1) = C, dengan C konstanta. Dengan demikian, persamaanya menjadi :

Keterangan :
Sn = jumlah falak kaki pertama jejer geometri

C = konstanta = a/(r-1)
r = rasio ririt ilmu ukur.

Contoh :

Jika jumlah n suku pertama suatu deret dirumuskan dengan Sn = 2³ⁿ
− 1, maka tentukanlah besaran 5 suku pertama dan rasionya.

Pembahasan :

Dik : Sn = 2³ⁿ
− 1
Dit : S₅
= …. ? dan r = …. ?

Total 5 tungkai pertama, substitusikan horizon = 5 :
⇒ Sn = 2³ⁿ
− 1
⇒ S₅
= 2^3.5
− 1
⇒ S₅
= 2¹⁵
− 1
⇒ S₅
= 32767

Rumus Sn yang diberikan plong soal boleh dijabarkan menjadi bentuk khusus Sn = C . r^{tepi langit}
− C sebagai berikut:
⇒ Sn = 2³ⁿ
− 1
⇒ Sn = (2³)ⁿ
− 1
⇒ Sn = 8ⁿ
− 1
⇒ Sn = 1 . 8ⁿ
− 1

Masa ini bentuk persamaanya sudah sesuai dengan Sn = C . r^{tepi langit}
− C. Bermula pertepatan tersebut diketahui:
1). C = a/(r-1) = 1
2). r = 8

Bintang sartan, rasio banjar ilmu ukur tersebut adalah 8 dan total 5 suku pertamanya yaitu 32767.

Demikianlah pembahasan singkat mengenai prinsip menentukan jumlah n suku mula-mula suatu deret geometri dilengkapi dengan contoh dan pembahasan. Seandainya bulan-bulanan belajar ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini.